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En esta Unidad se describen los conceptos básicos de la derivada, pero extendido al caso de funciones de diversas variables. Particularmente, estudiarás las derivadas parciales de una función y derivadas de orden superior. Asimismo, tendrás la posibilidad de aplicar el concepto de derivada para encontrar los máximos y mínimos de una función.
En el contexto de operadores diferenciales, estos los podrás calcular mediante el uso del operador nabla. Cuando apliques este operador a funciones empleando las operaciones vectoriales del producto escalar, producto vectorial y producto por un escalar; generará, por una parte, la divergencia y rotacional de un campo vectorial y por otra, el gradiente de una función. Estos nuevos entes matemáticos te serán de gran utilidad para representar campos de fuerza con la ventaja de que puedas aplicarlos a diversas áreas de las ciencias e ingeniería, tales como el electromagnetismo, la óptica, la dinámica de fluidos, entre otras.
En todos los casos estudiados, se debe tener una interpretación geométrica de estos operadores. Por lo que es muy importante que tengas a la mano un graficador de campos vectoriales, además de la posibilidad de llevar a cabo esquemas en donde se interprete el sentido físico de estos campos.
Por otra parte, será de gran ayuda tener a la mano un listado de fórmulas de derivación e integración, ya que las fórmulas que fueron establecidas en el cálculo de una variable para derivar e integrar, seguirán siendo útiles en cálculo multivariado.
Competencia específica
Analizar expresiones vectoriales a través de los métodos del álgebra y cálculo vectorial con los operadores diferenciales: gradiente, divergencia y rotacional; así como el cálculo de funciones de varias variables, las integrales vectoriales y sus teoremas integrales para aplicarlos en modelos físico-matemáticos resolubles de fenómenos y sistemas de la ingeniería.
Logros
- Identificar derivadas en varias variables y sus diversas aplicaciones a fenómenos y sistemas reales.
- Resolver problemas de variaciones según una dirección en un campo escalar o vectorial.
- Resolver problemas y aplicaciones de los operadores diferenciales Nabla y Laplaciano.
- Resolver problemas de álgebra y cálculo vectorial y aplicaciones de la Divergencia y el Rotacional.
Contenido
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Cierre
A lo largo de esta Unidad has podido adentrarte en los conceptos de curvas de nivel de una función de dos variables al proyectarla sobre su dominio. Calculaste los máximos y mínimos de funciones de dos variables. También, obtuviste el gradiente de funciones escalares y graficaste los vectores resultantes para obtener campos gradientes.
Al definir las operaciones vectoriales del producto escalar y vectorial en la primera Unidad, ahora has podido calcular la divergencia y el rotacional de algunos campos vectoriales. Estos campos pueden ser graficados en dos y tres dimensiones, y has podido corroborar que cuando un campo vectorial diverge, su rotacional es igual a cero y viceversa. En el caso de la divergencia de un campo, el signo negativo indica que todos los vectores van hacia el centro mientras que el signo positivo significa que todos se alejan del centro hacia infinito.
Fuentes de consulta
Básica
- Del Barrio, et al. (2006). Termodinámica básica. Ejercicios. Universidad Politécnica de Catalunya. Ediciones UPC.
- Marsden, J. E., et al. (2004). Cálculo Vectorial. España: Pearson-Addison Wesley.
- Moreno-Mestre J. (2008). Problemas y ejercicios resueltos de termodinámica. Universidad Complutense de Madrid.
- Ramírez, Duque-Daza y Garzón-Alvarado et al. (2011). Modelo computacional preliminar de la formación de la superficie cerebral. Revista Cubana de Investigaciones Biomédicas.
- Stewart, J., (2006). Cálculo. Conceptos y Contextos. México: Thomson.
- Zill, D.G., y Wright, W.S. (2012). Matemáticas 3. Cálculo de Varias variables. México: McGraw-Hill.