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Los conceptos que estudia el análisis matemático, están relacionados con las propiedades de los números reales. Por eso iniciamos con una sección dedicada a los números reales. En este apartado se estudia la propiedad más importante de los números reales, la de completez o completitud, está relacionada con el supremo de un conjunto y se demuestran varios teoremas equivalentes. Todos estos son resultados que se utilizarán a lo largo del curso.
Posteriormente, se inicia el estudio de los espacios vectoriales, se tratan las propiedades de una norma y de una distancia en un espacio vectorial. Aquí iniciamos la generalización de resultados en ℝn a espacios más generales. Trataremos algunas propiedades de los conjuntos en espacios métricos generales, generalizando algunos de los resultados válidos en los reales y en ℝn.
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Competencia específica
Generalizar los conceptos y resultados del cálculo en ℝ𝑛, para extenderlos a espacios más generales mediante las propiedades de los espacios métricos, las normas, distancias y la topología.
Logros
- Aplicar propiedades de los números reales en la solución de problemas matemáticos diversos, utilizando los teoremas de completud, para su posterior generalización a espacios más generales.
- Aplicar las propiedades de un espacio vectorial para demostrar cuando es un espacio vectorial o no, siguiendo un razonamiento riguroso, lógico y matemático.
- Aplicar las propiedades y normas de distancias para identificar distintas normas y distancias en distintos espacios, así como en un mismo espacio.
- Identificar las características de conjuntos abiertos y cerrados en distintos espacios métricos, así como en un mismo espacio con diferentes métricas y aplicarlas para identificar diferentes topologías.
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Contenido
Material de estudio
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En esta unidad has aprendido:
- Los teoremas de completitud de los números reales. Esto te será de gran utilidad en las siguientes unidades que estudiaremos las condiciones bajo las cuales un espacio métrico es completo.
- Las propiedades de un espacio vectorial euclidiano, un espacio vectorial normado y un espacio vectorial métrico. Así como la herramienta topológica básica para continuar tus estudios.
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Fuentes de consulta
Básica
- Bartle, R. G. (1964) The Elements of Real Analysis, New York: J. Wiley.
- Bartle, R. G., Sherbert D. R. (1984) Introducción al Análisis Matemático de una variable, Limusa.
- Dieudonné, J. (1968) Éléments d'analyse, Paris: Gauthier-Villars.
- Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. (1975) Introductory Real Analysis, New York: Dover.
- Royden, H. L. (1988) Real Analysis, New York: Macmillan.
- Rudin, Walter. (1965) Principles of Matematical Analysis, New York: McGraw-Hill.
- T. M. Aopostol. (1976) Análisis Matemático, Reverté, S.A.
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