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Uno de los objetivos fundamentales del Análisis Matemático es el estudio de los procesos de aproximación. En ciertos casos la intención es acercarse a un objeto matemático (una función, un número, un conjunto, etc.) por medio de otros objetos “más simples” –más manejables o más conocidos- esperando que el objeto original herede algunas de las propiedades de los objetos de aproximación o al menos que el límite que está detrás del proceso de aproximación permita manipular mejor al primer objeto, que lo vuelva más cercano.
En tus cursos de cálculo aprendiste que hay funciones que pueden aproximarse mediante los polinomios de Taylor, sin embargo, no todas las funciones diferenciables admiten una aproximación de esta manera. Idealmente lo que se desea es aproximar una función continua cualquiera mediante una función polinomial. Los polinomios significan muchas ventajas para la representación en aproximación numérica, interpolación y modelación geométrica. Y han demostrado ser extremadamente útiles en la implementación de estrategias de cálculo digital.
En esta Unidad estudiarás el Teorema de Aproximación de Weierstrass, resultado esencial al buscar la mejor aproximación polinomial de una función continua.
Previamente, abordaremos el tema de series de números, cuyos resultados serán de gran ayuda para el buen entendimiento y manejo de resultados ulteriores.
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Competencia específica
Aplicar el Teorema de Weierstrass para comprender que toda función real continua es límite uniforme de una sucesión de polinomios, utilizando las definiciones y propiedades de sucesiones, convergencia y continuidad.
Logros
- Asimilar los resultados más importantes sobre series de números
- Identificar las hipótesis del Teorema de Weierstrass
- Demostrar el Teorema de Weierstrass
- Aplicar el Teorema de Weierstrass
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Contenido
Material de estudio
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En esta unidad has aprendido acerca de uno de los objetivos principales del Análisis Matemático: la aproximación de funciones y de este tema uno de los Teoremas más conocidos al respecto el Teorema de Aproximación de Weierstrass.
Aprendiste que las funciones polinomiales forman un conjunto denso en el espacio de funciones continuas definidas en un intervalo cerrado y que esto se debe esencialmente al hecho de que tales funciones resultan ser uniformemente continuas en estos dominios y también pueden ser aproximadas uniformemente por polinomios en tales conjuntos. Todo ello gracias a la compacidad de los intervalos cerrados en R.
Analizaste también como estas ventajas podían ser extendidas a espacios más generales dando lugar al Teorema de Stone-Weierstrass
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Fuentes de consulta
Básica
- Bartle, R. (1984). Introducción al Análisis Matemático de una variable. México, Ciudad de México, Limusa.
- Grabinsky, G. (1997). La función continua no diferenciable de Weierstrass. tbl_articulos.pdf2.a982a5fc75ae0162.67726162696e736b792e706466.pdf (miscelaneamatematica.org)
- K. Weierstrass. (1885). Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Vernderlichen. Sitzungsberichte der Kniglich Preuischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 663-689 und 789-805.
- M. H. Stone. (1937). Applications of the thoery of Boolean rings to general topology. Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3, 375-481.
- Montalvo, F. (2003). El Teorema de Stone-Weierstrass. En Cálculo Diferencial e Integral en varias variables (págs. 31-38). Extremadura, España.
- Murillo, R. (1997). El teorema de aproximación de Weierstrass. https://miscelaneamatematica.org/download/tbl_articulos.pdf2.9da3c5dad16cc1fe.6d7572696c6c6f2e706466.pdf .
- Royden, H. L. (1988). Real Analysis. New York: Macmillan.
- Vargas C. (1997). Origen y desarrollo del teorema de aproximación de Weierstrass.
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