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La integral de Riemann-Stieltjes que se introdujo en la unidad anterior generaliza la integral de Riemann, la función integrante introducida en la integral de Riemann-Stieltjes adquiere un significado más particular cuando le asigna una “medida” a los conjuntos sobre los cuales se va a integrar. El uso de esta función nos permite generalizar el concepto de integral, incluso de funciones con “muchas” discontinuidades. En esta unidad se introduce el concepto de medida de un conjunto y más específicamente el de “medida de Lebesgue”.
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Competencia específica
Analizar el concepto de medida para clasificar conjuntos en R mediante la utilización de sus propiedades.
Logros
- Identificar las propiedades de la medida de Lebesgue.
- Clasificar conjuntos en R.
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Contenido
Material de estudio
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Cierre
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La medida de Lebesgue es de alguna forma una generalización del concepto de conjunto abierto, ya que todos los conjuntos abiertos son medibles. La generalización natural del concepto de función continua es la función medible con los conjuntos medibles haciendo el papel de los abiertos, también toda función continua es medible. Una ventaja de las funciones medibles queda manifiesta en el Teorema de Egorov: la cerradura bajo sucesiones de funciones convergentes es algo que no se da en las funciones continuas, esta convergencia es tan fuerte que la convergencia es uniforme.
El contenido de esta unidad es necesario para la siguiente en la que se definirá la Integral de Lebesgue, un paso más en la generalización del concepto de integral, que permitirá tener una mayor cantidad de funciones integrables.
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Fuentes de consulta
Básica
- Charalambos, D. (1998). Principles of Real Analysis. USA: Academic Press.
- De Barra, G. (2000). Measure Theory and Integration. India: New Age International.
- Folland, G. B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. USA: Wiley.
- Galaz, F. (2002). Medida e Integral de Lebesgue. México: University Press.
- Grabisnky, G. (2011). Teoría de la Medida. México: Facultad de Ciencias UNAM.
- Halmos, P. R. (1991). Measure Theory. USA: Springer Verlag.
- Royden, H; Fitzpatrick, P. (2010). Real Analysis. USA: Pearson.
- Sánchez, C; Valdés, C.. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España: Nivola.
- Schram, M. (1996). Introduction to Real Analysis. USA: Prentice Hall
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