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El análisis complejo es la parte de las matemáticas que estudia cómo se comportan las funciones de variable compleja a través de resultados específicos y en esta segunda unidad se plantea la teoría necesaria para estudiar y aplicar el teorema de Cauchy-Goursat. Además de otros teoremas (Liouville, teorema fundamental del álgebra, Morera) importantes para la solución de integrales de variable compleja.
Dentro del análisis complejo, la mayor parte de las veces, se necesitan de teoremas que permiten la solución de diferentes problemas aplicados, los cuales se verán dentro de esta unidad, que tiene dos teoremas, por la cual tendrás que revisar y aprender sus aplicaciones, dado que es muy indispensable para la solución de problemas. Esos teoremas son:
- Teorema de Cauchy-Goursat (Tipos de integrales)
- Holomorfismo
El primer teorema permite integrar funciones de acuerdo a ciertas características y la segunda se apoya de la primera para resolver integrales de variable compleja.
Para diferenciar los teoremas, ejemplos, propiedades y definiciones, cada uno de ellos se presentará con un color de fondo específico.
Fuente: Imagen extraída de https://n9.cl/ynio9m
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Competencia específica
Aplicar el análisis de variable compleja para resolver problemas relacionados con integrales de línea de funciones holomorfas, por medio del teorema de Cauchy-Goursat y holomorfismo de funciones.
Logros
- Aplicar las herramientas que proporciona el análisis complejo.
- Resolver integrales a través del teorema de Cauchy-Goursat.
- Diferenciar las características de los teoremas de holomorfismo complejo para resolver problemas de los diferentes tipos de integrales que involucran funciones holomorfas.
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Contenido
Material de estudio
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Cierre
Fuente: Imagen extraída de https://n9.cl/eq5fp
En esta unidad 2 aprendiste que si una función es holomorfa, su integral puede resolverse por medio del Teorema de Cauchy, la fórmula de Cauchy o el teorema de Morera. El teorema fundamental del álgebra se incluye dentro de estos subtemas porque para su demostración se utiliza el Teorema de Liouville (planteado también dentro de los resultados que viste en la unidad).
Es aconsejable que revises nuevamente la unidad en caso de que lo que se acaba de mencionar no te sea familiar, o no los recuerdes; de no ser éste tu caso, has concluido la unidad, por lo que puedes ingresar a la Unidad 3. Series complejas, en la que aprenderás a representar funciones (que cumplen ciertas características) por medio de una serie o series de potencias con términos complejos a través de los teoremas de Taylor y Laurent.
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Fuentes de consulta
Básica
- Churchill, R. V. (1996). Variables complejas y sus aplicaciones. México: Trillas.
- Marsden J. E. & Hoffman M. J. (1996) Análisis básico de variable compleja. México: Trillas.
Muy bien, has concluido el estudio de la unidad 2, ahora realiza las Actividades de aprendizaje.