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Como fundamento teórico para la demostración de los teoremas de Sylow, aparece el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto. Esta noción tiene analogía con el de operación binaria externa, y será tratada en el presente capítulo. Se estudiará, en particular, la acción de conjugación. Además, serán definidos los grupos transitivos del grupo simetríco 𝑆𝑛. Por otro lado, es de vital importancia para la demostración de los teoremas de Sylow, la ecuación de clases. Esta ecuación la cual estableceremos en este capítulo. Un tratamiento completo de los G-conjuntos nos llevará a la Teoría de los Espacios Vectoriales y Módulos sobre Anillos. Aquí solo utilizaremos los G-conjuntos como lenguaje y herramienta para comprender mejor la Teoría de Sylow.
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Competencia específica
Identificar el concepto de acción de grupo, para determinar la estructura del grupo, mediante la acción de un subgrupo en el grupo.
Logros
- Determinar cómo grupos de funciones afectan sus conjuntos de definición para deducir algunas propiedades de las acciones de grupos.
- Utilizar las acciones de subgrupos para determinar propiedades de los subgrupos.
- Adaptar las demostraciones y construcciones anteriores para construir un grupo abeliano de un orden específico.
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Contenido
Material de estudio
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Cierre
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En esta unidad construiste un nuevo grupo mediante el producto directo de ellos. Ahora cuentas con las herramientas para entender mejor las acciones de grupos.
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Fuentes de consulta
Básica
- Fraleigh, J. (1994). A First Course in Abstract Algebra. United States of America. Addison-Wesley Publishing Company.
- Herstein, I. Álgebra Moderna: Grupos, Anillos, Campos, Teoría de Galois. México: Editorial Trillas.
- Rotman, J. (2000). A First Course in Abstract Algebra. United States of America. Prentice Hall.
- Zaldívar, F. (2006). Introducción a la Teoría de Grupos. México: Sociedad Matemática Mexicana.
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