En la ciencia e ingeniería se involucran magnitudes físicas que dependen de una o más variables. En general, se representan ampliamente ecuaciones en un espacio de dos dimensiones o plano cartesiano. Por ejemplo, fuerza-distancia, corriente-voltaje, velocidad-tiempo, etc. En un espacio de dos dimensiones las ecuaciones dependen de una sola variable y sus gráficas pueden representarse en un plano. Pero en la realidad vivimos en un mundo de tres dimensiones, de hecho nos podemos desplazar en esas tres direcciones: izquierda-derecha, arriba-abajo y enfrente-atrás, y cualquier combinación de ellas. Los puntos en el espacio se representan por medio de alguna combinación de esas tres direcciones y las figuras en el espacio son representadas a través de una ecuación de tres variables. Estas ecuaciones son utilizadas en diversas aplicaciones, como programas de diseño de piezas industriales, arquitectura, películas animadas, etc. En el caso de la ciencia, por ejemplo, la presión de un gas depende tanto de su temperatura como de su volumen, etc. De hecho, muchas de las aplicaciones de las cónicas, en realidad son aplicaciones de las superficies cuadráticas pensadas como una extensión de las cónicas.

Las superficies cuádricas también tienen una ecuación canónica que carece de términos mixtos xy, yz y zx, pues estos aparecen cuando los ejes de simetría no coinciden con los ejes coordenados. Obtendremos las ecuaciones canónicas de las superficies, haremos un análisis de las simetrías y veremos cómo podemos determinar a qué superficie cuadrática corresponde cierta ecuación cuadrática sin términos mixtos y de acuerdo a sus coeficientes.

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