Unidad
01

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Las ecuaciones diferenciales parciales son de una importancia muy grande en el área de las matemáticas modernas, especialmente en el sentido aplicado. Diversos fenómenos físicos tienen una modelación que resulta en una ecuación diferencial parcial; en este sentido, las EDP se aplican de manera muy directa al mundo real.

Esta primera unidad del curso se introduce las nociones necesarias de EDP (ecuaciones diferenciales parciales); el surgimiento de las mismas, que son el resultado de leyes físicas, por lo que se presenta una estructura según la cual son generalizaciones de las ecuaciones de la física-matemática. De la misma forma, se presenta su clasificación y el método de las características para dar solución a un problema clásico relacionado al problema de Cauchy.

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Competencia específica

Aplicar las ecuaciones básicas de la física matemática y plantear los problemas de contorno asociados a ellas, para resolver problemas prácticos que puedan ser modelados por tales ecuaciones, mediante la vinculación y generalización de los conceptos y resultados de Álgebra Lineal, Análisis Matemático y EDO.

Logros

  • Clasificar algunas de las EDP de acuerdo a las propiedades que tienen.
  • Plantear el problema de Cauchy en los diferentes órdenes.
  • Determinar métodos de solución para el problema de Cauchy.

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Contenido

Unidad 1. Preliminares

  • 1.1. Definiciones principales

    1.1.1. ¿Qué son y cómo surgen las EDP?

    1.1.2. Los operadores GRAD, ROT; DIV y Laplaciano

    1.1.3. Problemas con condiciones iniciales y de contorno asociados a las EDP

  • 1.2. Ejemplos clásicos de EDP de a física matemática y significado de los problemas de contorno asociados a las EDP

    1.2.1. Ecuación de la difusión:la ecuación del calor

    1.2.2. Ecuaciones de la cuerda y la membrana vibrantes

    1.2.3. Ecuaciones estacionarias y ecuaciones para los potenciales de campos ideales: las ecuaciones de Laplace y Poisson

    1.2.4. Ecuaciones de Maxwell: la ecuación de ondas

    1.2.5. Ecuaciones de primer orden: conservación de masa, Euler y las ecuaciones de la mecánica de fluidos

  • 1.3. EDP de primer orden y su relación con las EDO: el problema de Cauchy

    1.3.1. EDP lineales y cuasilineales de primer orden

    1.3.2. El problema de Cauchy

    1.3.3. Método de las características y soluciones generales

Material de estudio

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Las EDP son de gran importancia en el ámbito de la matemática aplicada. Por su origen basado en las leyes físicas y naturales, da cuenta de su importancia al momento de trabajar y tratar de realizar modelos que aproximen de manera precisa la forma en que un fenómeno ocurre. Es así que las EDP se encuentran presentes en las distintas disciplinas que estudian el universo natural. De manera más directa, las EDP son usadas de manera común en la industria para optimizar muchos procesos. Manejar las propiedades y definiciones de las EDP en su forma clásica te permitirá tener un primer panorama para un estudio más profundo de esta importante área de la matemática moderna.

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Fuentes de consulta

Básica

  • Apostol, T. (1967). Calculus. Vol. 2. Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probabilityy. México, Editorial Reverte
  • Kurmyshev, E.V. (2003). Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería. México: Limusa.
  • Mauch, S. (2003). Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. https://dl.icdst.org/pdfs/files3/f32860fc08c3b37c86871c7dc499151a.pdf
  • Peral Alonso, I. (2004). Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales. Universidad Autónoma Metropolitana.
  • Zuazua, E. Ecuaciones en derivadas parciales. Universidad Autónoma Metropolitana.

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