Unidad
02

Bienvenida

En esta segunda unidad se presenta una forma de clasificación de las EDP cuasilineales de segundo orden y se introduce el llamado problema de Cauchy para estas ecuaciones como una extensión del problema de Cauchy, presentado en la Unidad 1, para las ecuaciones de primer orden. Se te dará el planteamiento general del problema de Cauchy para ecuaciones de segundo orden y estudiaremos su relación con el concepto de superficie característica. En el caso de las ecuaciones clásicas de ondas y difusión del calor se estudian versiones particulares del problema de Cauchy y se obtienen fórmulas para la solución de los respectivos problemas que dependen de la dimensión espacial. Dichas fórmulas muestran las diferencias entre los procesos de propagación de ondas de acuerdo a la dimensión espacial y permiten explicar ciertas características particulares que distinguen los procesos de difusión del calor de los de propagación de ondas, como son las propiedades de regresión en el tiempo, la conservación de energía y la velocidad de propagación en ambos procesos.

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Competencia específica

Obtener las soluciones del problema de Cauchy para las ecuaciones de onda y de calor en dimensiones uno, dos y tres; mediante la aplicación de las fórmulas correspondientes, para resolver los modelos asociados a problemas clásicos de la física matemática.

Logros

  • Clasificar las EDP cuasilineales de segundo orden de acuerdo a su reducción a la llamada forma canónica.
  • Presentar el llamado problema de Cauchy para una EDP cuasilineal de segundo orden y estudiar su relación con la noción de superficie
  • Presentar un planteamiento particular para el problema de Cauchy para la ecuación de ondas y estudiar las propiedades de su solución de acuerdo a la dimensión espacial.
  • Presentar un problema particular con condiciones iniciales para la ecuación del calor que puede ser considerado como una generalización del problema de Cauchy.

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Contenido

Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden

  • 2.1. Clasificación de las EDP cuasilineales de segundo orden

    2.1.1. El problema de Cauchy para algunos ejemplos e EDP de segundo orden

    2.1.2. Formas canónicas y clasificación

    2.1.3. Problema de Cauchy y superficies características

  • 2.2. El problema de Cauchy para la ecuación de onda en dimensiones espaciales uno, dos y tres

    2.2.1. La ecuación de onda en dimensión uno: la fórmula de D’Alembert

    2.2.2. La ecuación de onda en dimensión espacial tres: método de las medias esféricas

    2.2.3. El problema de Cauchy en dimensión espacial dos: método de descenso de Hadamard

    2.2.4. La ecuación de onda no homogénea

    2.2.5. Energía y unicidad de solución del problema de Cauchy

    2.2.6. Propiedades de la solución de la ecuación de onda de acuerdo a la dimensión espacial

  • 2.3. El problema de Cauchy para la ecuación de calor

    2.3.1. Núcleo de Gauss. Solución del problema de Cauchy

    2.3.2. El principio del máximo. Resultados clásicos de unicidad

    2.3.3. Comparación entre las soluciones del problema de Cauchy para la ecuación de onda y la ecuación de calor

Material de estudio

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Material de apoyo

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Durante esta unidad revisaste la clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) de segundo orden, su forma canónica, coeficientes constantes y en diferentes características, es necesario que repases dichos contenidos y sus aplicaciones.

Revisaste como utilizando las EDP, podemos encontrar la solución al problema de Cauchy, tomando como bases las Ecuación de ondas en dimensión uno y dimensión espacial, tomando como bases la Fórmula Dé Alembert, Método de descenso de Hadamard, DE las medias esféricas.

Es de tu interés que revises como el problema de Cauchy, y sus diversas aplicaciones e, diversos contextos de la Física, así como revisar ejercicios o problemas que tenga relación con este tipo de contenidos, los cuales te ayudarán para complementar los conocimientos obtenidos durante la unidad tres.

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Fuentes de consulta

Básica

  • Kurmyshev, E.V. (2003). Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería. México: Editorial Limusa.
  • Mauch, S. (2004). Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. https://dl.icdst.org/pdfs/files3/f32860fc08c3b37c86871c7dc499151a.pdf
  • Myint-U, T. (1973). Partial differential equations of mathematical physics. Editado por American Elsevier Publishing.
  • Peral Alonso, I. (2004). Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales. Universidad Autónoma Metropolitana.
  • Zuazua, E. Ecuaciones en derivadas parciales. Universidad Autónoma Metropolitana.

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