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Hasta este momento has estudiado varios conceptos relacionados con los espacios topológicos y sus subconjuntos (subespacios). Ahora es necesario estudiar funciones entre tales espacios. Las funciones que naturalmente se asocian con los espacios topológicos son las funciones continuas. El concepto de continuidad es uno de los más importantes en topología.
Recuerda que una topología en un conjunto es una estructura que establece una noción de “cercanía” o “proximidad” en el conjunto. Las funciones continuas entre espacios topológicos son las que preservan la cercanía, es decir, son las que envían puntos que están cerca en un espacio a puntos cercanos en el otro.
Una función continua y biyectiva cuya inversa es también continua se llama homeomorfismo. Tales funciones establecen la principal noción de equivalencia topológica. Hay ciertas propiedades de los espacios topológicos que son preservadas por los homeomorfismos, a estas propiedades se les llama propiedades topológicas y sirven para distinguir espacios topológicos.
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Competencia específica
Establecer si dos espacios topológicos son equivalentes para conocer las propiedades que los distinguen por medio de la utilización del concepto de homeomorfismo.
Logros
- Identificar las propiedades de las funciones continuas para deducir una definición.
- Utilizar el concepto de homeomorfismo para relacionar dos espacios.
- Determinar propiedades topológicas para representarlas en diferentes espacios.
- Adaptar las demostraciones y construcciones anteriores para agrupar diferentes espacios.
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Contenido
Material de estudio
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Cierre
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Hemos terminado la unidad 2. En esta parte del curso estudiamos a las funciones continuas y a los homeomorfismos.
Las funciones continuas son la clase de funciones que se definen naturalmente entre espacios topológicos. El concepto de continuidad está íntimamente relacionado con la topología de un espacio.
Los homeomorfismos son funciones continuas y biyectivas cuya inversa es continua. Si hay un homeomorfismo entre dos espacios decimos que son homeomorfos. Los espacios homeomorfos son iguales para la topología. Un homeomorfismo es una forma de pasar de un espacio a otro sin cambiar su “forma topológica” porque son correspondencias biyectivas entre los abiertos de un espacio y los del otro.
Recordaras que las áreas de las matemáticas se pueden describir en términos de los objetos que estudian, las funciones que se definen en esos objetos y las propiedades que se preservan bajo la aplicación de tales funciones. Hasta ahora hemos estudiado, en el caso de la topología, los objetos (espacios topológicos) y las funciones (funciones continuas). Además, al final de esta unidad introdujimos la definición de las propiedades que se preservan bajo homeomorfismos (propiedades topológicas). En la siguiente unidad estudiaremos a detalle dos propiedades topológicas: la conexidad por trayectorias y la compacidad.
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Fuentes de consulta
Básica
- Adams, C., Franzosa, R. (2009). Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.
- Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.
Complementaria
- García-Maynez, A., (1998). Topología General. México: Porrúa.
- Munkres, J. R. (2002).Topología. Madrid: Pearson Educación.
- Prieto, C. (2003). Topología Básica. México: Fondo de Cultura Económica.
- Rubiano O. (2010) Topología General: Un Primer curso, Bogota, Colombia,Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias.
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