En las dos unidades anteriores has estudiado los espacios topológicos y las funciones que aparecen naturalmente entre ellos, las funciones continuas. En otras palabras, has estudiado los objetos y las funciones de la topología. También pudiste revisar la definición de propiedad topológica y su utilidad para distinguir espacios topológicos, es decir, para clasificarlos.

En ésta, la tercera y última unidad del curso, podrás familiarizarte con dos propiedades topológicas: la conexidad por trayectorias, también conocida como arco-conexidad, y la compacidad.

De estas dos propiedades, la arco-conexidad es la más sencilla e intuitiva. Se trata, hablando informalmente, del número de pedazos del que está hecho un espacio. Un pedazo de un espacio es un subconjunto en el que un punto del espacio podría viajar libremente. Si un espacio tiene un solo pedazo se dice que es arco-conexo. Si no es arco-conexo, se puede saber de cuantos pedazos está hecho. Para que dos espacios sean homeomorfos es necesario (aunque no suficiente) que estén hechos del mismo número de pedazos. Con la teoría que se desarrollara el problema de clasificar espacios topológicos queda reducido a clasificar los que son arco-conexos.

La compacidad es menos intuitiva que la conexidad y también es más difícil de definir. La compacidad es una especie de “finitud”. Si en un espacio compacto se tiene una forma de medir distancias, los elementos del espacio no pueden alejarse mucho, es decir las distancias entre puntos del espacio estarían acotadas. Otra forma de decir esto es que, si viviéramos en un espacio compacto y comenzáramos un viaje, no podríamos alejarnos de nuestro lugar de origen tanto como quisiéramos. La diferencia entre un espacio compacto y uno no compacto es la misma que habría entre vivir en un planeta como el nuestro, que es una esfera, y un planeta cuya superficie fuera un plano infinito.

Fuente: Imagen extraída de https://n9.cl/86gmaw