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En esta Unidad se describen los conceptos básicos de la integral, pero extendidos al caso de funciones de dos o más variables. Particularmente, estudiarás integrales de línea, dobles y triples. La idea es calcular áreas y volúmenes. Asimismo, tendrás la posibilidad de aplicar el concepto de integral para encontrar la intensidad de flujo a través de una superficie de un campo vectorial.
Los resultados más importantes del cálculo multivariado serán estudiados cuando resuelvas problemas usando los teoremas de Green, Gauss y Stokes. Estos teoremas te ofrecerán atajos para calcular nuevamente volúmenes, áreas, e integrales de línea, que de otra forma requieren de una mayor cantidad de cálculos algebraicos. Las aplicaciones a las ciencias e ingenierías, de los teoremas mencionados serán también discutidas al realizar problemas aplicados en electromagnetismo y termodinámica.
Competencia específica
Analizar expresiones vectoriales a través de los métodos del álgebra y cálculo vectorial con operadores diferenciales: gradiente, divergencia y rotacional; así como el cálculo de funciones de varias variables, las integrales vectoriales y sus teoremas integrales; para aplicarlos en modelos físico-matemáticos resolubles de fenómenos y sistemas de la ingeniería.
Logros
- Identificar expresiones de integrales de línea, dobles y triples integrales
- Identificar modelos y problemas que involucran derivadas e integrales vectoriales de varias variables.
- Resolver problemas de integrales de línea, área y volumen.
- Aplicar los Teoremas Integrales de Green, Stokes y Gauss a modelos de varias variables con integrales dobles y triples.
Contenido
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Cierre
A lo largo de esta Unidad has podido adentrarte en los conceptos de integrales de línea, área y volumen. Al mismo tiempo se estudiaron integrales de superficie usando el Teorema de la Divergencia de Gauss. Otro teorema empleado fue el de Green para encontrar el área entre dos curvas. Un tema que resulta fascinante es aquel de encontrar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie. El caso de la superficie esférica es clásico y muy usado en la Ley de Gauss de la electrostática. Nuevamente, como ya lo hemos mencionado, los conceptos estudiados hasta aquí te serán muy útiles para entender los teoremas de Gauss, Green y Stokes, los cuales permiten que las Ecuaciones de Maxwell puedan ser escritas en su forma integral.
En otros contextos como en biotecnología, el uso del cálculo vectorial te será de gran ayuda para comprender fenómenos de transporte. En termodinámica el cálculo vectorial es ampliamente usado para comprender los conceptos de entropía, entalpía y la solución de problemas con sistemas termodinámicos, como por ejemplo el gas ideal.
Fuentes de consulta
Básica
- Leithold, L., (2006). El Cálculo. México: Oxford.
- Stewart, J., (1999). Cálculo Multivariable. México: Thompson.
- Zill, D. G., et al. (2012). Matemáticas 3. Cálculo de Varias variables. México, D. F.: McGraw-Hill.